C++ 动态规划算法个人笔记

一.什么是动态规划算法

动态规划也是一种分治思想，但与分治算法不同的是，分治算法是把原问题分解为若干子问题，

自顶向下，求解各子问题，合并子问题的解从而得到原问题的解。动态规划也是自顶向下把原问

题分解为若干子问题，不同的是，然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，

在求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，避免重复计算，从而提高算法效率。

分治法核心思想**：** 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题

二.问题

假如你参与了某美女机器人的研发，你在这个项目中要求实现一个统计算法：如果美女机器人

一次可以上 1 级台阶，也可以一次上 2 级台阶。求美女机器人走一个 n 级台阶总共有多少种走法。

三.解题思路

分治法的解题思路

比如总共有 5 级台阶,求有多少种走法；由于机器人一次可以走两级台阶，也可以走一级台阶，所以只有

两个情况

机器人最后一次走了两级台阶，问题变成了“走上一个 3 级台阶，有多少种走法？”

机器人最后一步走了一级台阶，问题变成了“走一个 4 级台阶，有多少种走法？

可以得出这样的关系(n 表示一共有多少台阶)

f(n) = f(n-1) + f(n-2);

终止条件 n== 1 时 1种走法;n == 2 时 2种走法;

这样会有很多重复的代码

比如:f(5) = f(4) + f(3)

计算分成两个分支：

f(4) = f(3)+f(2) = f(2) + f(1) + f(2);

f(3) = f(2) + f(1);

f(2) 和 f(1)就是重复计算

动态规划的解题思路

自底向上

f(1) = 1

f(2) = 2

f(3) = f(1) + f(2) = 3 (状态转移方程)

f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5

f(5) = f(4) + f(3) = 5 + 3 = 8

这样就可以避免重复计算

效率提高

四.分治法的代码实现

#include 
   
    #include 
    
     using namespace std;/******************************函数功能: 用分治法解决上述问题*函数参数: n - 台阶数**函数返回值: 总共有多少种走法。**************************/int recursionMethod(int n) {	if (n <= 0) return 0;	if (n == 1) return 1;	if (n == 2) return 2;	return recursionMethod(n - 1) + recursionMethod(n - 2);}int main(void) {	//机器人走台阶	time_t start = 0; 	time_t end = 0;	int n;	cout << "please input step:";	cin >> n;	//用递归实现	//递归方法	time(&start);	int ret = recursionMethod(n);	cout << "一共有:" << ret << "种" << endl;	time(&end);	cout << "递归所需时间:" << end - start << endl;	return 0;}

分治法的测试结果:

在这里插入图片描述

台阶数是40时所需时间是7秒

五.什么时候要用动态规划？

如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，

并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划,注可以使用动态规划算法的都可以使用分治法,但可以使用分治法的不一定可以使用动态规划算法.

六.怎么使用动态规划？

五步曲解决：

\1. 判题题意是否为找出一个问题的最优解

\2. 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题

\3. 从下往上分析问题，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）

\4. 讨论底层的边界问题

\5. 解决问题（通常使用数组进行迭代求出最优解）

七.动态规划的代码实现

#include 
   
    #include 
    
     using namespace std;/******************************函数功能: 用动态规划算法解决上述问题*函数参数: n - 台阶数**函数返回值: 总共有多少种走法。**************************/int dynamicPrograming(int n) {	if (n == 1) return 1;	if (n == 2) return 2;	int* dynamicArr = new int[n];	dynamicArr[0] = 1; //一个台阶时 1种走法	dynamicArr[1] = 2; //2个台阶时 2种走法	for (int i = 2; i < n; i++) {		dynamicArr[i] = dynamicArr[i - 1] + dynamicArr[i - 2];	}	int ret = dynamicArr[n - 1]; //n个台阶时的走法	delete[] dynamicArr;	return ret;}int main(void) {	//机器人走台阶	time_t start = 0; 	time_t end = 0;	int n;	cout << "please input step:";	cin >> n;	time(&start);	//用动态规划算法实现	int kind = dynamicPrograming(n);	cout << "一共有:" << kind << "种" << endl; 	time(&end);	cout << "动态规划算法所需时间:" << end - start << endl;	return 0;}